Question

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
1）求證AB⊥面VAD；
2）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證AB⊥面VAD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB與面VAD內兩相交直線垂直，而VE⊥AB可由面VAD⊥底面ABCD得到，AB⊥AD，滿足定理條件；
（2）設VD的中點為F，連AF，AF⊥VD，由三垂線定理知BF⊥VD，根據二面角平面角的定義可知∠AFB是面VAD與面VDB所成的二面角的平面角，在Rt△ABF中求出此角即可．

解答：證明：（1）由于面VAD是正三角形，設AD的中點為E，
則VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，則VE⊥AB．
又面ABCD是正方形，則AB⊥AD，故AB⊥面VAD．
（2）由AB⊥面VAD，則點B在平面VAD內的射影是A，設VD的中點為F，連AF，BF由△VAD是正△，則AF⊥VD，由三垂線定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD與面VDB所成的二面角的平面角．
設正方形ABCD的邊長為a，
則在Rt△ABF中，AB=a，AF=

3

2

a，tan∠AFB=

AB

AF

=

a

3 2 a

=

2 3

3

故面VAD與面VDB所成的二面角的大小為arctan

2 3

3

．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角及其度量，對于二面角的度量在高考中有所弱化，屬于基礎題．