Question

(2005山東，20)如下圖，已知長方體，AB=2，，直線BD與平面所成的角為30°，AE垂直BD于E，F為的中點．

(1)求異面直線AE與BF所成的角；

(2)求平面BDF與平面所成二面角(銳角)的大小；

(3)求點A到平面BDF的距離．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：在長方體中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系如下圖． 由已知AB=2，，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，F(1，0，1)． 又AD⊥平面，從而BD與平面所成的角即為∠DBA=30°，又AB=2，AE⊥BD，AE=1，， 從而易得，D． (1)因為， 所以． 即異面直線AE、BF所成的角為． (2)易知平面的一個法向量m=(0，1，0)． 設n=(x，y，z)是平面BDF的一個法向量， ．由 取n=(1，，1)，∴， 即平面BDF與平面所成二面角(銳角)大小為． (3)點A到平面BDF的距離，即在平面BDF的法向量n上的投影的絕對值． 所以距離． 所以點A到平面BDF的距離為． 解法二：如下圖． (1)連結，過F作的垂線，垂足為K， ∵與兩底面ABCD，都垂直， ， ，因此FK∥AE． ∴∠BFK為異面直線BF與AE所成的角．連結BK，由FK⊥面得FK⊥BK，從而△BKF為Rt△． 在Rt△和Rt△中，由得 ， 又，故． ∴異面直線BF與AE所成的角為． (2)如下圖，由于DA⊥面，由A作BF的垂線AG，垂足為G．連結BG，由三垂線定理知BG⊥DG． ∴∠AGD即為平面BDF與平面所成二面角的平面角． 且∠DAG=90°．在平面中，延長BF與交于點S， ∵F為的中點，， ∴、F分別為SA、SB的中點，即． ∴Rt△BAS為等腰三角形，垂足G點為斜邊SB的中點F，即F、G重合， 易得．在Rt△BAS中，， ∴，． 平面BDF與平面所成二面角(銳角)為． (3)如下圖，由(2)知平面AFD是平面BDF與平面所成二面角的平面角所在的平面， ∴面AFD⊥面BDF． 在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，則AH即為點A到平面BDF的距離． 由， 得 ． 所以點A到平面BDF的距離為．

提示：

剖析：本題考查線線角、線面角以及點面距離的求法，可用傳統綜合法或向量法求解．