Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD于A，E、F分別是AB，PD之中點．
（1）求證：AF∥平面PCE．
（2）若二面角P-CD-B為45⁰，求證：平面PCE⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）要證AF∥平面PCE，只需證明AF與平面PCE 內的一條直線平行即可．設G為PC中點，連接GF，GE，能夠證明EAFG為平行四邊形，證出AF∥EG后，問題獲證．
（2）若二面角P-CD-B為45，可以得出∠PDA=45°，△PDA 為等腰直角三角形，得出AF⊥PD，AF⊥面PDC，再由（1）證得AF∥EG，得出EG⊥面PDC后，即可證出．

解答：解：（1）設G為PC中點，連接GF，GE
∵E、F分別是AB，PD之中點，
∴FG∥CD，FG=

1

2

CD．EA∥CD，EA=

1

2

CD．
∴EAFG為平行四邊形，
∴AF∥EG，又AF?平面PCE．EG?平面PCE．
∴AF∥平面PCE．
 （2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，又AD⊥CD，CD⊥面PAD，
∴CD⊥DP，∠PDA為二面角P-CD-B的平面角，
∴∠PDA=45°，可得△PDA 為等腰直角三角形．
又 F是PD之中點，
∴AF⊥PD，又CD⊥AF，
∴AF⊥面PDC，由（1）證得AF∥EG，所以EG⊥面PDC，．
又EG?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PCD．

點評：本題考查空間平行和垂直的位置關系的判定，二面角的定義及度量，考查空間想象能力，推理論證能力、轉化能力．