Question

設P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N） 是二次曲線C上的點，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²構成了一個公差為d（d≠0） 的等差數列，其中O是坐標原點．記S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程為

x2

9

-y²=1，n=3．點P₁（3，0） 及S₃=162，求點P₃的坐標；（只需寫出一個）
（2）若C的方程為y²=2px（p≠0）．點P₁（0，0），對于給定的自然數n，證明：（x₁+p）²，（x₂+p）²，…，（x_n+p）²成等差數列；
（3）若C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．點P₁（a，0），對于給定的自然數n，當公差d變化時，求S_n的最小值．

符號意義	本試卷所用符號	等同于《實驗教材》符號
向量坐標	a ={x，y}	a =（x，y）
正切	tg	tan

Answer 1

分析：（1）利用條件求出a₃的值．再聯立二次曲線求出點P₃的坐標即可．
（2）先利用定義求出|OP_k|²，再聯立二次曲線求出（x_k+p）²表達式，就可下結論．
（3）先求出原點O到二次曲線上各點的最小距離和最大距離；再利用定義求出a_n的通項以及S_n的表達式，利用公差d的范圍，求出S_n的最小值即可．

解答：解：（1）a₁=|OP₁|²=9，由S₃=

3

2

（a₁+a₃）=162，得a₃=|OP₃|³=99．
由

x2 9 -y2=1 x2+ y2=99

得

x2=90 y2=9

∴點P₃的坐標可以為（3

10

，3）．
（2）對每個自然數k，1≤k≤n，由題意|OP_k|²=（k-1）d，
及

y 2 k =2pxk x 2 k + y 2 k =(k-1)d

即（x_k+p）²=p²+（k-1）d，
∴（x₁+p）²，（x₂+p）²，…（x_n+p）²是首項為p²，公差為d的等差數列．
（3）原點O到二次曲線
C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上各點的最小距離為b，最大距離為a．
∵a₁=|OP₁|²=a²，∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+（n-1）d≥b²，
∴

b2-a2

n-1

≤d＜0．∵n≥3，

n(n-1)

2

＞0
∴S_n=na²+

n(n-1)

2

d在[

b2-a2

n-1

，0）上遞增，
故S_n的最小值為na²+

n(n-1)

2

•

b2-a2

n-1

=

n(a2+b2)

2

．

點評：本題是對數列和函數以及二次曲線的綜合考查．其中涉及到了等差數列的證明，數列的求和等知識點，是一道不太容易的題．