Question

【題目】設數列的前項和為，對一切，點都在函數的圖象上.

（1）求，歸納數列的通項公式（不必證明）.

（2）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為，，，；，，，；，…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為，求的值.

（3）設為數列的前項積，且，求數列的最大項.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）2010；（3）.

【解析】

（1）化簡得到，計算，，，猜想得到答案.

（2）計算，再計算，相加得到答案.

（3）計算，故，故是單調遞減，計算得到答案.

（1）因為點在函數的圖象上，故，所以.令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以；

由此猜想：.

（2）因為，所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為，，，；，，，；，

每一次循環記為一組.由于每一個循環含有4個括號，

故是第25組中第4個括號內各數之和.

由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20.

同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20.

故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80.

注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，所以.

又，所以.

（3）因為，故，

所以.

由于，

所以，故是單調遞減，

于是數列的最大項為.