Question

已知向量

m

=（a+c，b），

n

=（a-c，b-a），且

m

⊥

n

，其中A，B，C是△ABC的內角，a，b，c分別是角A，B，C的對邊．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據二向量垂直可推斷出

m

•

n

=0，進而求得a，b和c的關系式，代入余弦定理求得cosC的值，進而求得c．
（2）根據C和B表示出A，進而利用兩角和公式化簡整理后，根據A的范圍確定sinA+sinB的范圍．

解答：解：（1）由

m

⊥

n

得

m

•

n

=0得（a+c）（a-c）+b（b-a）=0?a²+b²-c²=ab
由余弦定理得cosC=

a2+b2 -c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

∵0＜C＜π∴C=

π

3

（2）∵C=

π

3

∴A+B=

2π

3

∴sinA+sinB=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA
=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

（

3

2

sinA+

1

2

cosA）
=

3

sin（A+

π

6

）
∵0＜A＜

2π

3

∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1∴

3

2

＜

3

sin（A+

π

6

）≤

3

即

3

2

＜sinA+sinB≤

3

．

點評：本題主要考查了余弦定理的應用，兩角和公式的化簡求值，平面向量的性質．考查了學生綜合分析運用所學知識的能力．