Question

（14分）已知定義在上的函數滿足：
，且對于任意實數，總有成立．
（1）求的值，并證明函數為偶函數；
（2）若數列滿足，求證：數列為等比數列；
（3）若對于任意非零實數，總有．設有理數滿足，判斷和 的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1），函數為偶函數
（2）略
（3）略

（1）令，，又，．…2分
令，，即．
對任意的實數總成立， 為偶函數． 4分
（2）令，得 ，，．
．…………………………………………………………5分
令，得，………………………………………………………………6分
         ………………………………………………8分
是以為首項，以為公比的等比數列．
（3）結論：．………………………………………………………………9分
證明：設，∵時，，
∴，即．……………………………………………………10分
∴令（），故，總有成立．
∴．………………………………………………………………………………………………11分
∴對于，總有成立．
即
當時，
在上單調遞增。………………………………………………………………12分
當…………………………………………………………13分
函數為偶函數，∴．∴．……14分