Question

【題目】已知F1 ， F2分別是橢圓 的左、右焦點F1 ， F2關于直線x+y﹣2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點．
（1）求圓C的方程；
（2）設過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a，b．當ab最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0）．故⊙C的半徑為2，圓心為原點O關于直線x+y﹣2=0的對稱點．設圓心的坐標為（m，n）．則 ，解得 ．

∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；

（2）解：由題意，可設直線l的方程為x=my+2，則圓心到直線l的距離d= ，

∴b= ．

由 得（5+m2）y2+4my﹣1=0．

設l與E的兩個交點分別為（x1，y1），（x2，y2）．

則 ， ．

∴a= = = ，

∴ab= = = ．

當且僅當 ，即 時等號成立．

故當 時，ab最大，此時，直線l的方程為 ，即 ．

【解析】（1）由題意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0），可得⊙C的半徑為2，圓心為原點O關于直線x+y﹣2=0的對稱點．設圓心的坐標為（m，n）．利用線段的垂直平行的性質可得 ，解出即可得到圓的方程；（2））由題意，可設直線l的方程為x=my+2，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線l的距離d= ，再利用弦長公式即可得到b= ．把直線l的方程為x=my+2與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，利用弦長公式即可得到a，進而得到ab，利用基本不等式的性質即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了圓的標準方程的相關知識點，需要掌握圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程才能正確解答此題．