Question

我們對數(shù)列作如下定義，如果?n∈N^*，都有a_na_n+1a_n+2=k（k為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{a_n}是等積數(shù)列，且a₁=1，a₂=2，公積為6，則a₁+a₂+a₃+…+a₉=

18

．

Answer 1

分析：根據(jù)“等積數(shù)列”的概念，a₁=1，a₂=2，公積為6，可求得a₃，a₄，…a₉，利用數(shù)列的求和公式即可求得答案．

解答：解：依題意，數(shù)列{a_n}是等積數(shù)列，且a₁=1，a₂=2，公積為8，
∴a₁•a₂•a₃=6，即1×2a₃=6，
∴a₃=3．
同理可求a₄=1，a₅=2，a₆=3，…
∴{a_n}是以3為周期的數(shù)列，
∴a₁=a₄=a₇=a₁₀=1，
a₂=a₅=a₈=a₁₁=2，
a₃=a₆=a₉=a₁₂=3．
∴a₁+a₂+a₃+…+a₉=（1+2+3）×3=18．
故答案為：18．

點評：本題考查數(shù)列的求和，求得{a_n}是以3為周期的數(shù)列是關(guān)鍵，考查分析觀察與運算能力．