Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

．
（I）若原點到直線x+y-b=0的距離為

2

，求橢圓的方程；
（II）設過橢圓的右焦點且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A，B兩點．
（i）當|AB|=

3

，求b的值；
（ii）對于橢圓上任一點M，若

OM

=λ

OA

+μ

OB

，求實數λ，μ滿足的關系式．

Answer 1

分析：（I）由題意知b=2，a²=12，b²=4．由此可知橢圓的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（II）（i）由題意知橢圓的方程可化為：x²+3y²=3b²，AB：y=x-

2

b，所以4x2-6

2

bx+3b2=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+12) 72b2-48b2 42

=

2• 24b2 42

=

3

b=

3

，所以b=1．
（II）（ii）顯然

OA

與

OB

可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量

OM

，有且只有一對實數λ，μ，使得等

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．同上經可知λ²+μ²=1．

解答：解：（I）∵d=

b

2

=

2

，∴b=2∵e=

c

a

=

6

3

，∴

c2

a2

=

2

3

∵a²-b²=c²，∴a2-4=

2

3

a2解得a²=12，b²=4．
橢圓的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．（4分）
（II）（i）∵

c

a

=

6

3

，∴a2=3b2，c2=

2

3

a2=2b2．橢圓的方程可化為：x²+3y²=3b²①
易知右焦點F(

2

b，0)，據題意有AB：y=x-

2

b②
由①，②有：4x2-6

2

bx+3b2=0③
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+12) 72b2-48b2 42

=

2• 24b2 42

=

3

b=

3

∴b=1（8分）
（II）（ii）顯然

OA

與

OB

可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量

OM

，有且只有一對實數λ，μ，使得等

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．
設M（x，y），∵（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
又點M在橢圓上，∴（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²④
由③有：x1+x2=

3 2 b

2

，x1x2=

3b2

4

則x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-

2

b)(x2-

2

b)=4x1x2-3

2

b(x1+x2)+6b2
3b²-9b²+6b²=0⑤
又A，B在橢圓上，故有x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²⑥
將⑥，⑤代入④可得：λ²+μ²=1．（14分）

點評：本題考查圓錐曲線的位置關系和綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．