Question

【題目】已知函數

（1）若，求的最大值；

（2）如果函數在公共定義域D上，滿足，那么就稱為的“伴隨函數”.已知函數，.若在區間上，函數是的“伴隨函數”，求實數的取值范圍；

（3）若，正實數滿足，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出導函數，由導數研究函數的單調性得出最大值；

（2）問題等價于對恒成立，

且對恒成立，利用導數研究不等式恒成立可得參數取值范圍；

（3）把，變形為（令），求出的最小值后解相應不等式（關于的不等式），可得結論．

解：（1）當時，，

當時，令，解得.

列表如下：

		0
	↑	極大值	↓

所以，當時取得極大值，也即是最大值.

所以的最大值是

（2）在區間上，函數是的“伴隨函數”，則，令對恒成立，

且對恒成立，

（*）

①若，令，得極值點，當，即時，在上有，此時在區間上是增函數，并且在該區間上有，不合題意；當，即時，在上有，此時在區間上是增函數，并且在該區間上有，也不合題意；

②若，則有，此時在區間上恒有，

從而在區間上是減函數；要使在此區間上恒成立，只需滿足，所以.

又因為在上是減函數.，所以.

綜合可知的取值范圍是.

（3）當時，.因為，

所以.

令，則，

令則令解得當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，所以當時取得極大值即最大值，所以，

解得