Question

(本小題滿分12分)某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組[160，165)，第2組[165，170)，第3組[170，175)，第4組[175，180)，第5組[180，185)得到的頻率分布直方圖如圖所示。

(Ⅰ)求第3、4、5組的頻率；
(Ⅱ)為了能選拔出最優秀的學生，該校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，學校決定在這6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試，求：第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率?

Answer 1

(Ⅰ) 第組的頻率為0.3；第組的頻率為0.2；第組的頻率為0.1
(Ⅱ) 第組的人數為3；第組的人數為2；第組的人數為1
(Ⅲ)

本試題主要是考查了直方圖的性質的運用，以及古典概型概率的運算的綜合運用。
（1）由題設可知，第組的頻率為  第組的頻率為
第組的頻率為。
（2）第組的人數為   第組的人數為
第組的人數為。利用分層抽樣的等比例性質得到各層應該抽取的人數。
（3）設第組的位同學為，第組的位同學為，第組的位同學為，則從六位同學中抽兩位同學有15中情況，其中其中第組的位同學為至少有一位同學入選的有其中第組的位同學為至少有一位同學入選的有9種，進而得到概率值。
解：(Ⅰ)由題設可知，第組的頻率為  第組的頻率為
第組的頻率為。     ……………………………………………………3分
(Ⅱ)第組的人數為   第組的人數為
第組的人數為。    ……………………………………………………6分
因為第組共有名學生，所以利用分層抽樣在名學生中抽取名學生，每組抽取的人數分別為：   第組：   第組：   第組：
所以第組分別抽取人、人、人    …………………………………………9分
(Ⅲ)設第組的位同學為，第組的位同學為，第組的位同學為，則從六位同學中抽兩位同學有：

共種可能。                   ……………………………………………10分
其中第組的位同學為至少有一位同學入選的有：
共種可能，        ……………………11分
所以第組至少有一名學生被甲考官面試的概率為       …………………12分