Question

【題目】已知拋物線，且拋物線在點處的切線斜率為，直線與拋物線交于兩點（點在點左側），且直線垂直于直線．

（1）求證：直線過定點，并求出定點坐標；

（2）如圖，直線交軸于點，直線交軸于點，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，定點；（2）50

【解析】

（1）首先根據題意求出拋物線方程，然后求出點的坐標，再由直線互相垂直，求出直線的斜率，求出直線的方程，進而可得定點坐標；

（2）首先設出直線的方程，然后聯立直線與拋物線的方程，求出的橫坐標，最后利用弦長公式，即可求解．

（1）由題意可得．

當時，，

拋物線的方程為．

．

設，

，

，

化簡得．

又，

直線的方程為，

即．

將式代入直線的方程，得：，

令，則，

可得直線過定點．

（2）設直線的方程為，

不妨設，易知，

聯立，得，得，

，

利用根與系數的關系得

同理可得，

易知，

，

，

的最大值為50．