Question

設函數。

（Ⅰ）若在定義域內存在，使不等式能成立，求實數的最小值；

（Ⅱ）若函數在區間上恰有兩個不同的零點，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）1；（2）

【解析】

試題分析：（1）不等式轉化為：能成立，求m最小值。可以轉化成求函數在定義域內的最小值。（2）函數在上有兩個不同零點，所以在上有兩個不同的解，可以令，結合圖形研究函數的性質即可。

解答過程：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。  ………………1分

求導得：，…………………………………2分

∵函數的定義域為， ……………………………………3分

當時，，∴函數在區間上是減函數；

當時，，∴函數在區間(0，+∞)上是增函數。 …………5分

∴，  ∴。故實數的最小值為1。……………………6分(Ⅱ)由得：

…………………7分

由題設可得：方程在區間上恰有兩個相異實根。

設。∵，列表如下：

		－	0	＋
		減函數		增函數

∵，∴。

從而有，                

畫出函數在區間上的草圖（見圖），

易知要使方程在區間上恰有兩個相異實根，

只需：，即： 。 ……………12分

考點：本題考查了含參函數中參數的轉化問題，將存在性問題轉化為函數的最值和函數性質的研究，還需要借助圖象工具，數形結合，為一道水平較高的題目。

點評：本題需要靈活轉化，還要有一定邏輯分析能力和一定的計算能力，在難度上屬于中等偏上，第一問計算簡單，第二步計算在能力要求上有所增加。