Question

設P（x，y）為橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動點，A（a，0）（0＜a＜3）為定點，已知|AP|的最小值為1，求a的值．

Answer 1

分析：由P（x，y）為橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動點，A（a，0）（0＜a＜3）為定點，知|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4-

4

9

x2=

5

9

(x-

9a

5

)2+4-

4a2

5

，x∈[-3，3]及|AP|的最小值為1，能求出a的值．

解答：解：∵P（x，y）為橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動點，A（a，0）（0＜a＜3）為定點，
∴|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4-

4

9

x2
=

5

9

(x-

9a

5

)2+4-

4a2

5

，x∈[-3，3]，
∵0＜a＜3，∴0＜

9a

5

＜

27

5

，
當0＜

9a

5

≤3，即0＜a≤

5

3

時，
|AP|²_min=4-

4

5

a2=1，解得a=

15

2

（舍）；
當

9a

5

＞3，即3＞a＞

5

3

時，
當x=3時取最小值，
則|AP|²_min=a²-6a+9=1，解得a=2，或a=4（舍）．
綜上，a=2

點評：本題考查滿足條件的實數值的求法，具體涉及到橢圓的性質，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．