Question

已知離心率為

3

2

的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點到左焦點F的最長距離為

3

+2．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”，求橢圓的“左特征點”M的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)離心率為

3

2

，其上的點到左焦點F的最長距離為

3

+2，可建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（2）設M（m，0）為橢圓的左特征點，根據橢圓左焦點，設直線AB方程代入橢圓方程，由∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，利用韋達定理，即可求得結論．

解答：解：（1）由題意知

a+c= 3 +2 c a = 3 2

，∴a=2，c=

3

，∴b=

a2-c2

=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2 =1；
（2）設M（m，0）為橢圓

x2

4

+y2 =1的左特征點，橢圓的左焦點F（-

3

，0），
可設直線AB的方程為x=ky-

3

（k≠0）
代入

x2

4

+y2 =1，得：（ky-

3

）y²+4y2=4，即（k²+4）y²-2

3

ky-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得y₁+y₂=

2 3 k

k2+4

，y₁y₂=-

1

k2+4

∵∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0，
即y₁（ky₂-

3

）+y₂（ky₁-

3

）-（y₁+y₂）m=0
所以，2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+

3

）=0
于是，2k×（-

1

k2+4

）-

2 3 k

k2+4

×（m+

3

）=0
∵k≠0，∴1+

3

（m+

3

）=0，即m=-

4 3

3

，∴M（-

4 3

3

，0）

點評：本題以新定義為載體主要考查了橢圓性質的應用，直線與橢圓相交關系的處理，要注意解題中直線AB得方程設為x=ky-2（k≠0）的好處在于避免討論直線的斜率是否存在．