Question

已知函數（均為正常數），設函數在處有極值.
（1）若對任意的，不等式總成立，求實數的取值范圍；
（2）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查導數的應用、不等式、三角函數等基礎知識，考查思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力，考查函數思想、轉化思想等數學思想方法.第一問，對求導，因為在有極值，所以是的根，列出表達式，求出，不等式恒成立等價于恒成立，所以下面的主要任務是求的最大值，對求導，利用三角公式化簡，求的最值，判斷的正負，從而判斷的單調性，求出最大值；第二問，由單調遞增，所以解出的取值范圍，由已知在上單調遞增，所以得出，利用子集關系列出不等式組，解出.
試題解析：∵，∴，
由題意，得，，解得.     2分
（1）不等式等價于對于一切恒成立.      4分
記
     5分
∵，∴，∴，∴，
∴，從而在上是減函數.
∴，于是，故的取值范圍是.     6分
（2），由，得，即
.     7分
∵函數在區間上單調遞增，
∴，
則有，，     9分
即，，
∴只有時，適合題意，故的取值范圍為.     12分
考點：1.導數的運算；2.兩角和的正弦公式；3.三角函數的最值；4.恒成立問題；5.利用導數判斷函數的單調性.