Question

設等比數列{a_n}的公比為q，前n項和為S_n，是否存在常數c，使數列{S_n+c}也成等比數列？若存在，求出常數c；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：假設存在常數c，使數列{S_n+c}也成等比數列，由數列{S_n+c}成等比數列得到關于S_n的遞推式，分q=1和q≠1寫出等比數列的前n項和，代入整理后求解C的值．

解答：解：設存在常數 C，使數列{S_n+c}成等比數列．
∵(Sn+c)(Sn+2+c)=(Sn+1+c)2，
∴Sn•Sn+2-Sn+12=c(2Sn+1-Sn-Sn+2)．
①當q=1時，S_n=na₁，
代入上式得a12n(n+2)-a12(n+1)2=ca₁[2（n+1）-n-（n+2）]．
即a12=0．
但a₁≠0，于是不存在常數c，使{S_n+c}成等比數列；
②當q≠1時，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
代 入 上 式 得

-a12qn

(1-q)2

(1-q)2=

ca1qn

1-q

(1-q)2．
∴c=

a1

q-1

．
綜上可知，存在常數c=

a1

q-1

，使成等比數列．

點評：本題考查了等比數列的性質，考查了數列的遞推式及等比數列的前n項和公式，考查了分類討論的數學思想方法，考查了運算能力，是中檔題．