Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F₂（3，0），離心率為e．
（Ⅰ）若e=

3

2

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx與橢圓相交于A，B兩點，M，N分別為線段AF₂，BF₂的中點．若坐標原點O在以MN為直徑的圓上，且

2

2

＜e≤

3

2

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得

c=3 c a = 3 2

，得a=2

3

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx

得（b²+a²k²）x²-a²b²=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．所以x1+x2=0，x1x2=

-a2b2

b2+a2k2

，依題意OM⊥ON知，四邊形OMF₂N為平行四邊形，所以AF₂⊥BF₂，因為

F2A

=(x1-3，y1)，

F2B

=(x2-3，y2)，所以

F2A

•

F2B

=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0．由此能求出k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意得

c=3 c a = 3 2

，得a=2

3

．（2分）
結合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．（3分）
所以，橢圓的方程為

x2

12

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx

得（b²+a²k²）x²-a²b²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
所以x1+x2=0，x1x2=

-a2b2

b2+a2k2

，（6分）
依題意，OM⊥ON，
易知，四邊形OMF₂N為平行四邊形，
所以AF₂⊥BF₂，（7分）
因為

F2A

=(x1-3，y1)，

F2B

=(x2-3，y2)，
所以

F2A

•

F2B

=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0．（8分）
即

-a2(a2-9)(1+k2)

a2k2+(a2-9)

+9=0，（9分）
將其整理為k=

a4-18a2+812

-a4+18a2

=-1-

812

a4-18a2

．（10分）
因為

2

2

＜e≤

3

2

，所以2

3

≤a＜3

2

，12≤a²＜18．（11分）
所以k2≥

1

8

，即K∈(-∞，-

2

4

]∪[

2

4

，+∞)．（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．