Question

（2012•濟南三模）如圖所示，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且2PA=AD，E、F、G、H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點．
（Ⅰ）求證：BC∥平面EFG；
（Ⅱ）求證：DH⊥平面AEG；
（Ⅲ）求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平行公理證明BC∥EF，再利用線面平行的判定，證明BC∥平面EFG；
（Ⅱ）利用PA⊥平面ABCD，證明AE⊥DH，利用△ADG≌△DCH，證明DH⊥AG，從而可證DH⊥平面AEG；
（Ⅲ）

VE-APG

VP-ABCD

=

VG-AEF

VP-ABCD

，計算出體積可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：∵BC∥AD，AD∥EF，∴BC∥EF…（2分）
∵BC?平面EFG，EF?平面EFG，
∴BC∥平面EFG…（3分）
（Ⅱ）證明：∵PA⊥平面ABCD，DH?平面ABCD，
∴PA⊥DH，即 AE⊥DH…（5分）
∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°
∴∠AGD+∠HDC=90°
∴DH⊥AG
又∵AE∩AG=A，
∴DH⊥平面AEG…（8分）
（Ⅲ）解：

VE-AFG

VP-ABCD

=

VG-AEF

VP-ABCD

=

1 3 DG×S△AEF

1 3 PA×S△ABCD

=

1 2 CD× 1 2 EF×EA

PA×AD×CD

=

1 2 CD× 1 2 × 1 2 AD× 1 2 PA

PA×AD×CD

=

1

16

…（12分）

點評：本題考查線面平行，線面垂直，考查體積的計算，解題的關鍵是正確運用線面平行、線面垂直的判定，屬于中檔題．