Question

已知函數f（x）=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x；g（x）=

1-m•2x

1+m•2x

．
（I）當a=1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域；
（II）若對任意x∈[0，+∞），總有|f（x）|≤3成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若m＞0（m為常數），且對任意x∈[0，1]，總有|g（x）|≤M成立，求M的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=1時，f（x）=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，根據f（x）在（-∞，0）上遞減，可求f（x）在（-∞，0）的值域；
（II）由題意知，對任意x∈[0，+∞），總有-3≤f（x）≤3成立，分離參數可得-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，從而[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min，由此可求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）先判斷g（x）在[0，1]上遞減，即

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

，再分類討論，即可確定M的取值范圍．

解答：解：（I）當a=1時，f（x）=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x；
因為f（x）在（-∞，0）上遞減，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域為（3，+∞）
（II）由題意知，對任意x∈[0，+∞），總有-3≤f（x）≤3成立．
∴-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x
∴-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min
設2^x=t，則t≥1，設h（t）=-4t-

1

t

，p（t）=2t-

1

t

，
∴h′(t)=-4+

1

t2

＜0，p′（t）=2+

1

t2

＞0
∴h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增
∴在[1，+∞）上，h（t）_max=h（1）=-5，p（t）_min=p（1）=1
∴實數a的取值范圍為[-5，1]；
（Ⅲ）g（x）=

1-m•2x

1+m•2x

=-1+

2

1+m•2x

．
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上遞減
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

①當|

1-2m

1+2m

|≤|

1-m

1+m

|，即m∈（0，

2

2

]時，|g(x)|≤|

1-m

1+m

|，此時，M≥|

1-m

1+m

|
②當|

1-2m

1+2m

|＞|

1-m

1+m

|，即m∈（

2

2

，+∞）時，|g(x)|≤|

1-2m

1+2m

|，此時，M≥|

1-2m

1+2m

|
綜上所述，m∈（0，

2

2

]時，M的取值范圍為[|

1-m

1+m

|，+∞)；m∈（

2

2

，+∞）時，M的取值范圍為[|

1-2m

1+2m

|，+∞)．

點評：本題考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是轉化為求函數的最值．