Question

如果存在非零常數c，對于函數y=f（x）定義域R上的任意x，都有f（x+c）＞f（x）成立，那么稱函數為“Z函數”．
（1）求證：若y=f（x）（x∈R）是單調函數，則它是“Z函數”；
（2）若函數g（x）=ax³+bx²是“Z函數”，求實數a、b滿足的條件．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,進行簡單的合情推理

專題：證明題,函數的性質及應用

分析：（1）由y=f（x）（x∈R）是單調函數，若是增函數，則當c＞0時，函數為“Z函數”；若是減函數，則當c＜0時，函數為“Z函數”，從而得證；
（2）由函數g（x）=ax³+bx²是“Z函數”，則函數g（x）滿足定義，由g′（x）≥0或g′（x）≤0恒成立，討論分析可得實數a，b滿足的條件是a≠0且b=0．

解答： 證明：（1）若y=f（x）（x∈R）是單調函數，
若y=f（x）（x∈R）是增函數，則當c＞0時，都有f（x+c）＞f（x）成立，函數為“Z函數”．
若y=f（x）（x∈R）是減函數，則當c＜0時，都有f（x+c）＞f（x）成立，函數為“Z函數”．
（2）若函數g（x）=ax³+bx²是“Z函數”，
則函數g（x）=ax³+bx²是單調函數，即g′（x）可能恒大于0或恒小于等于0，
g′（x）=（ax³+bx²）′=3ax²+2bx，
∴g′（x）=3ax²+2bx≥0或g′（x）=3ax²+2bx≤0恒成立，
∴

a＞0 4b2≤0

或

a＜0 4b2≤0

∴a＞0且b=0或a＜0，b=0，
由于題目中是存在非零常數c，那么c完全可以取到特別大的實數更大，那么y=3ax²+2bx的單調性由于c過大，完全可以認為是單調增，忽略但調減的區間，所以b∈R
∴實數a、b滿足的條件是a≠0．

點評：本題主要考查了函數單調性的判斷與證明，考查了進行簡單的合情推理的能力，考查了轉化思想，屬于中檔題．