Question

（本小題滿分12分）

設平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為．求：

（Ⅰ）求實數的取值范圍；

（Ⅱ）求圓的方程；

（Ⅲ）問圓是否經過某定點（其坐標與b 無關）？請證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）且

（Ⅱ） 

（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析:（Ⅰ）令＝0，得拋物線與軸交點是；

令，由題意且Δ＞0，

解得且．                                                    ……2分

（Ⅱ）設所求圓的一般方程為，

令＝0 得，這與＝0 是同一個方程，故

令＝0 得，此方程有一個根為，代入得出

所以圓的方程為.                          ……6分

（Ⅲ）圓必過定點和．

證明：法一：將代入圓的方程，得左邊＝右邊＝，

所以圓必過定點．

同理可證圓必過定點．                                          ……12分

法二：圓的方程為可化為

令解得或  

所以圓必過定點和．                                       ……12分

考點：本小題主要考查二次函數圖象與性質、圓的方程的求法．

點評：由于圓的方程有兩種形式：標準方程和一般方程，在做題時要合理選用，如果選擇不恰當，可能會造成運算過于復雜而無法求解.