Question

已知定義域為的函數(shù)對任意實數(shù)滿足：，且不是常值函數(shù)，常數(shù)使，給出下列結(jié)論：①；②是奇函數(shù)；③是周期函數(shù)且一個周期為；④在內(nèi)為單調(diào)函數(shù)。其中正確命題的序號是___________。

 

Answer 1

【答案】

.③

【解析】解：根據(jù)題意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，

令y=0可得，2f（x）=2f（x）f（0），又由f（x）不是常函數(shù)，即f（x）=0不恒成立，則f（0）=1，

依次分析4個命題可得：

對于①、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=y=

，可得f（t）+f（0）=

結(jié)合f（0）=1，f（t）=0，可得，則可得，故①錯誤，

對于②、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=0，可得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），f（y）+f（-y）=0不恒成立，f（x）不是奇函數(shù)，故②錯誤，

對于③、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=t可得，在f（x+t）+f（x-t）=2f（x）f（t）=0，

即f（x+t）=-f（x-t），則f（x+3t）=-f（x+t）=f（x-t），即f（x+3t）=f（x-t），則f（x）是周期函數(shù)且一個周期為4t，③正確，

對于④、根據(jù)題意，無法判斷f（x）的單調(diào)性，則④錯誤；

故答案為③．