Question

（本題滿分12分）設{a_n}是等差數列，{b_n}是各項都為正數的等比數列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13.

(1)求{a_n}，{b_n}的通項公式；          (2)求數列的前n項和S_n.

 

Answer 1

【答案】

 (1) a_n=2n－1 ，b_n=2^n-1.(2) 。

【解析】本試題主要是考查了數列的通項公式的的求解和數列求和的綜合運用。

（1）設等差數列的公差為d  等比數列的公比為q，

由題意得 1+2d+q⁴=21，     ①    1+4d+q²=13，        ②

①×2－②得，2q⁴－q²－28=0，解得q²=4  又由題意，知{b_n}各項為正，

所以q=2，代入②得d=2， 所以a_n=2n－1 ，b_n=2^n-1.

（2）由(1)可知，，利用錯位相減法得到求和。

(1)設等差數列的公差為d  等比數列的公比為q，

由題意得 1+2d+q⁴=21，     ①    1+4d+q²=13，        ②

①×2－②得，2q⁴－q²－28=0，解得q²=4  又由題意，知{b_n}各項為正，

所以q=2，代入②得d=2， 所以a_n=2n－1 ，b_n=2^n-1.

(2)由(1)可知，，

又，             (1)

，     (2)

(2)－(1)得  

，∴