Question

（2012•淮南二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC，bcosB，c cosA成等差數列．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=

3

，試求△ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，解得cosB=

1

2

，從而求出角B．
（Ⅱ）由余弦定理可得3=a²+c²-ac，再由 a²+c²≥2ac，可得 3≥ac，故有ABC面積S=

1

2

ac•sinB≤

3

2

×

3

2

，由此得到S的最大值．

解答：解：（I）由題意可得，在△ABC中，2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∴cosB=

1

2

，∴角B=

π

3

．
∵（Ⅱ）若b=

3

，∵B=

π

3

，由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB，即 3=a²+c²-ac．
再由  a²+c²≥2ac，可得 3≥ac，∴△ABC面積S=

1

2

ac•sinB≤

3

2

×

3

2

=

3 3

4

，
故△ABC面積S的最大值為

3 3

4

．

點評：本題主要考查等差數列的定義和性質，利用正弦定理和余弦定理解三角形，屬于中檔題．