Question

已知圓C過定點A（0，a）（a＞0），且在x軸上截得的弦MN的長為2a．
（1）求圓C的圓心的軌跡方程；
（2）設|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值及此時圓C的方程．△ABC中，a，b，c是內角A，B，C的對邊，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數列，則下列兩條直線l₁：（sin²A）x+（sinA）y-a=0，l₂：（sin²B）x+（sinC）y-c=0的位置關系是（　　）

A．、重合

B．相交（不垂直）

C．垂直

D．平行

Answer 1

分析：（1）設圓C的圓心為C（x，y），圓的半徑 r=

x2+(y-a)2

，由圓C在x軸上截得的弦MN的長為2a．可得|y|²+a²=r²，整理可求．
（2）設∠MAN=θ，|AM|=m，|AN|=n，|MN|=2a，故m²+n²-2m•n•cosθ=4a²，由S△MAN=

1

2

mnsinθ=

1

2

•a•2a，

n

m

=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

，知當θ=

π

4

時，

m

n

+

n

m

取最大值2

2

，由此能求出

m

n

+

n

m

的最大值及此時圓C的方程．
由等差數列的性質得sin²B=sinA•sinC，分別化簡兩直線方程的一次項系數與常數項之比的結果，從而得到兩條直線l₁：（sin²A）x+（sinA）y-a=0，l₂：（sin²B）x+（sinC）y-c=0的位置關系．

解答：解：（1）設圓C的圓心為C（x，y），
依題意圓的半徑   r=

x2+(y-a)2

，
∵圓C在x軸上截得的弦MN的長為2a．
∴|y|²+a²=r²，
故x²+（y-a）²=|y|²+a²，
∴x²=2ay，
∴圓C的圓心的軌跡方程為x²=2ay．
（2）設∠MAN=θ，
|AM|=m，|AN|=n，|MN|=2a，
∴m²+n²-2m•n•cosθ=4a²，
∵S△MAN=

1

2

mnsinθ=

1

2

•a•2a，
∴

n

m

=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

，
當θ=

π

4

時，

m

n

+

n

m

取最大值2

2

，
∵∠MCN=2∠MAN=

π

2

，
∴點C的坐標為(±

2

a，a)，
故

m

n

+

n

m

的最大值為2

2

，
此時圓C的方程為(x-

2

a)2+(y-a)2=2a2，
或(x+

2

a)2+(y-a)2=2a2．
由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC，得  lg（sinB）²=lg（sinA•sinC）．
∴sin²B=sinA•sinC．  
設l₁：a₁x+b₁y+c₁=0，l₂：a₂x+b₂y+c₂=0．
∵

a1

a2

=

sin2A

sin2B

=

sin2A

sinAsinC

=

sinA

sinC

，

b1

b2

=

sinA

sinC

，

c1

c2

=

-a

-c

=

-2RsinA

-2RsinC

=

sinA

sinC

，
∴

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

，
∴l₁與l₂重合，
故選A．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．本題考查等差數列的性質，兩直線位置關系的判定方法．