已知中心在原點，焦點在
軸上的橢圓
的離心率為
，橢圓上異于長軸頂點的任意點
與左右兩焦點
、
構成的三角形中面積的最大值為
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知點
，連接
與橢圓的另一交點記為
，若與橢圓相切時、不重合，連接
與橢圓的另一交點記為
，求
的取值范圍.
（1）
；（2）
.
解析試題分析：（1）先利用已知條件列舉出有關
、
、
的方程組，結合三者之間滿足的勾股關系求出、、的值，從而確定橢圓的方程；（2）設直線與的方程分別為
以及
，將兩條直線方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理得到點與點
之間的關系（關于
軸對稱），從而得到兩點坐標之間的關系，最后將利用點的坐標進行表示，注意到坐標的取值范圍，然后利用二次函數求出的取值范圍.
（1）由題可知：
，
，
解得：
，
，
，
故橢圓的方程為：；
（2）不妨設
、
、
，
由題意可知直線的斜率是存在的，故設直線的斜率為
，直線的斜率為
的方程為： 代入橢圓方程，得
，
，
將
，
代入解得：
，的方程為：代入橢圓方程，得
，
，
將
，，代入解得：
，
，又
、不重合，
，
，
.
考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關系；3.二次函數；4.向量的數量積
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別為P（單位：萬元）和Q（單位：萬元），它們與投入資金
（單位：萬元）的關系有經驗公式
, 
. 今將3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，其中對甲種商品投資
（單位：萬元）
（1）試建立總利潤
（單位：萬元）關于的函數關系式，并指明函數定義域；
（2）如何投資經營甲、乙兩種商品，才能使得總利潤最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝3x－
.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)判斷x>0時，f(x)的單調性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈
恒成立，求m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2個小題滿分8分。
已知
.
(1)當
,
時,若不等式
恒成立,求
的范圍；
(2)試證函數
在
內存在零點.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層．體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度
（單位：cm）滿足關系：
(
，
為常數)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設
為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（1）求的值及的表達式；
（2）隔熱層修建多厚時，總費用達到最小？并求出最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
為了尋找馬航
殘骸,我國“雪龍號”科考船于2014年3月26日從港口
出發，沿北偏東
角的射線
方向航行，而在港口北偏東
角的方向上有一個給科考船補給物資的小島
，
海里，且
.現指揮部需要緊急征調位于港口正東
海里的
處的補給船，速往小島裝上補給物資供給科考船．該船沿
方向全速追趕科考船，并在
處相遇．經測算當兩船運行的航線與海岸線
圍成的三角形
的面積
最小時，這種補給方案最優.
（1）求關于的函數關系式
；
（2）應征調位于港口正東多少海里處的補給船只，補給方案最優？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
的圖象關于坐標原點對稱。
(1)求
的值，并求出函數
的零點；
(2)若函數
在[0，1]內存在零點，求實數b的取值范圍；
(3)設
，已知
的反函數
=
，若不等式
在
上恒成立，求滿足條件的最小整數k的值。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
定義在[－1,1]上的奇函數f(x)，已知當x∈[－1,0]時，
f(x)＝
－
(a∈R)．
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)若f(x)是[0,1]上的增函數，求實數a的取值范圍．
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是定義在
上的奇函數，且
，若
，
有
恒成立.
對所有
恒成立，求實數
的取值范圍．