【題目】某學校決定在主干道旁邊挖一個半橢圓形狀的小湖，如圖所示，AB=4，O為AB的中點，橢圓的焦點P在對稱軸OD上，M、N在橢圓上，MN平行AB交OD與G，且G在P的右側，△MNP為燈光區，用于美化環境.
(1)若學校的另一條道路EF滿足OE=3，tan∠OEF=2，為確保道路安全，要求橢圓上任意一點到道路EF的距離都不小于
，求半橢圓形的小湖的最大面積：(橢圓
(
)的面積為
)
(2)若橢圓的離心率為，要求燈光區的周長不小于
，求PG的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由
的長求得
的值.首先求出直線
所在的直線方程，設出與此直線平行，且與半橢圓相切的直線方程，利用兩平行線間的距離求得相切直線的方程，代入橢圓方程利用判別式等于零求得
的值.（2）根據橢圓的離心率和的值，利用
求得的值，即求得橢圓方程，求得焦點
的坐標.設出
點的坐標，代入橢圓方程，由此寫出周長的表達式，列不等式，解不等式可求得點橫坐標的取值范圍，減去
后得到
的取值范圍.
（1）因為
，所以直線的斜率為
，
所以所在的直線方程為
。
因為橢圓上任意一點到道路的距離都小于
，
所以橢圓最大面積時與一條平行于且距離為的直線相切，
設直線
，
由兩條直線之間的距離為，所以
，
解得
或
（舍棄）
設橢圓方程為
，
由于
得到
因為直線與橢圓相切，所以
，解得
，
所以橢圓方程為
，
所以橢圓分面積為
。
（2）設橢圓方程為，
因為橢圓的離心率為，所以
，所以
。
所以橢圓方程為
設
，則燈光區的周長
由題意
，
所以
，所以
∴ 
，
所以
，即
，
又因為
在的右側，所以
，所以
所以的取值范圍是
。
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數f（x）對定義域內的任意x1 ， x2 ， 當f（x1）=f（x2）時，總有x1=x2 ， 則稱函數f（x）為單純函數，例如函數f（x）=x是單純函數，但函數f（x）=x2不是單純函數．若函數 
為單純函數，則實數m的取值范圍是 ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E： 
+ 
=1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k＞0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）當t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；
（Ⅱ）當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍．
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【題目】若函數f（x）= 
+ln（ 
+x）+ 
cos xdx在區間[﹣k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，則m+n的值是（ ）
A.0
B.2
C.4
D.6
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【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5． 
（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（Ⅲ）證明：在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B，并求 
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義在R上的可導函數f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+2）為偶函數，f（4）=1，則不等式f（x）＜ex的解集為（ ）
A.（﹣2，+∞）
B.（0，+∞）
C.（1，+∞）
D.（4，+∞）
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