Question

若任意直線l過點F（0，1），且與函數的圖象C于兩個不同的點A，B過點A，BC，兩切線交于點M
（Ⅰ）證明：點M縱坐標是一個定值，并求出這個定值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x），g（x）=alnx（a＞0），求實數a取值范圍；
（Ⅲ）求證：，（其中e自然對數的底數，n≥2，n∈N）．

Answer 1

（本小題滿分13分）
證明：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知AB的斜率必存在，設AB：y=kx+1，
將其代入得：x²-4kx-4=0，∴x₁x₂=-4…（2分）
∵，∴，
AM：，化簡得：AM：y=…①
同理：BM：y=，…②
由①②消去x得：y=…（5分）
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=，（a＞0，x＞0），
∴F′（x）==
令 F′（x）=0 得x=，
當x∈（0，）時F′（x）＜0，F（x）在x∈（0，）上單調遞減；
當x∈（，+∞）時F′（x）＞0，F（x）在x∈（，+∞）上單調遞增；
∴F（x）在時取得最小值，…（7分）
要使f（x）≥g（x）恒成立，只需F（）≥0
即 ，解得，又a＞0，∴…（9分）
（Ⅲ）根據（Ⅱ）：取，則有，化簡得： …（11分）
分別令x=2，3，4，…，n，得：，，…，
相加：…（13分）
分析：（Ⅰ）設AB：y=kx+1，與拋物線方程聯立，求出x₁x₂，利用函數的導數推出AM，BM的斜率，得到它們的方程，然后求出點M縱坐標是一個定值即可；
（Ⅱ）構造F（x）=f（x）-g（x），求出函數的最小值，利用不等式f（x）≥g（x），說明F（x）的最小值大于等于0，即可求實數a取值范圍；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）：取，則有，代入x=2，3，4，…，n，即可求證：，（其中e自然對數的底數，n≥2，n∈N）．
點評：本題考查函數與導數的綜合應用，利用函數的最值證明不等式，直線與拋物線的位置關系的應用，考查轉化數學與計算能力．