Question

已知關于x的方程：x²﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有實數根b．
（1）求實數a，b的值．
（2）若復數z滿足|﹣a﹣bi|﹣2|z|=0，求z為何值時，|z|有最小值，并求出|z|的值．

Answer 1

(1);(2) 當z=1﹣i時,|z|有最小值且|z|_min=．

試題分析：(1)將實數根代入后，復數為0表示為實部為0，虛部為0，解出與;
(2)先把代入方程，同時設復數，化簡方程，根據表達式的幾何意義，方程表示圓，
再數形結合，表示為圓上點到原點的距離，求出，得到．
試題解析：解：（1）∵b是方程x²﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的實根，
∴（b²﹣6b+9）+（a﹣b）i=0，
∴解之得a=b=3．
（2）設z=x+yi（x，y∈R），由|﹣3﹣3i|=2|z|，
得（x﹣3）²+（y+3）²=4（x²+y²），
即（x+1）²+（y﹣1）²=8，
∴z點的軌跡是以O₁（﹣1，1）為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，
如圖，

當z點在OO₁的連線上時，|z|有最大值或最小值，
∵|OO₁|=半徑r=2，
∴當z=1﹣i時.|z|有最小值且|z|_min=．