Question

【題目】將平面上每個點染為種顏色之一，同時滿足：

（1）每種顏色的點都有無窮多個，且不全在同一條直線上；

（2）至少有一條直線上所有的點恰為兩種顏色．

求的最小值，使得存在互不同色的四個點共圓．

Answer 1

【答案】5

【解析】

由已知．

若，在平面上取一定圓及上面三點、、，將弧（含點不含）、弧（含點不含）、弧（含點不含）分別染為1、2、3色，平面上其他點染為4色，則滿足題意且不存在四個互不同色的點共圓．

所以，．

當時，假設不存在四個互不同色的點共圓．由條件（2）知，存在直線上恰有兩種顏色的點（設上僅有顏色1、2的點），再由條件（1）知，存在顏色分別為3、4、5的點、、不共線，設過、、的圓為（如圖）．

若與有公共點，則存在四個互不同色的點共圓，矛盾．

若與相離，則過點作的垂線與交于點．

設的顏色為1，垂線與交于點、，如圖3．

設的顏色為3．考慮上顏色為2的點，與交于點．

因為，所以，、、、四點共圓．則只能為3色．

又、必有一點不同于（設為），與交于點．

因為，所以，、、、四點共圓．則只能為1色．

故．

從而，、、、四點共圓，且互不同色，矛盾．

所以，當時，存在四個互不同色的點共圓．

因此，的最小值是5．