Question

（2012•安徽模擬）設a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x的定義域是[

π

4

，

11

24

π]，f(

π

4

)=

3

．給出下列幾個命題：
①f（x）在x=

π

4

處取得小值；
②[

5

12

π，

11

24

π]是f（x）的一個單調遞減區間；
③f（x）的最大值為2；
④使得f（x）取得最大值的點僅有一個x=

π

3

．
其中正確命題的序號是

②③④

．（將你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：利用二倍角公式化簡函數f（x），然后由f（

π

4

）=

3

，求出a的值，進一步化簡為f（x）=2sin（2x-

π

6

），然后根據x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，利用單調性求出函數的最大值和最小值．根據函數單調性及最值即可選出答案．

解答：解：f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x=asinxcosx-cos²x+sin²x=

a

2

sin2x-cos2x，
由f（

π

4

）=

3

，得

a

2

=

3

，解得a=2

3

．
所以f（x）=2sin（2x-

π

6

），
當x∈[

π

4

，

π

3

]時，2x-

π

6

∈[

π

3

，

π

2

]，f（x）是增函數，
當x∈[

π

3

，

11π

24

]時，2x-

π

6

∈[

π

2

，

3π

4

]，f（x）是減函數，
所以函數f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最大值是：f（

π

3

）=2，
故③正確；
且當f（x）取得最大值的點僅有一個x=

π

3

．
故④正確；
由上述單調性知：[

5

12

π，

11

24

π]是f（x）的一個單調遞減區間，
故②正確；
又f（

π

4

）=

3

，f（

11π

24

）=

2

，
所以函數f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最小值為：f（

11π

24

）=

2

；
故①錯誤．
故答案為：②③④．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡，二倍角公式的應用，三角函數的求值，函數的單調性、最值，考查計算能力，常考題型．