Question

【題目】已知e為自然對數的底數，設函數f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），則（ ）
A.當k=1時，f（x）在x=1處取得極小值
B.當k=1時，f（x）在x=1處取得極大值
C.當k=2時，f（x）在x=1處取得極小值
D.當k=2時，f（x）在x=1處取得極大值

Answer 1

【答案】C
【解析】解：當k=1時，函數f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）．
求導函數可得f'（x）=ex（x﹣1）+（ex﹣1）=（xex﹣1），
f'（1）=e﹣1≠0，f'（2）=2e2﹣1≠0，
則f（x）在在x=1處與在x=2處均取不到極值，
當k=2時，函數f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）2 ．
求導函數可得f'（x）=ex（x﹣1）2+2（ex﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xex+ex﹣2），
∴當x=1，f'（x）=0，且當x＞1時，f'（x）＞0，當x0＜x＜1時（x0為極大值點），f'（x）＜0，故函數f（x）在（1，+∞）上是增函數；
在（x0 ， 1）上是減函數，從而函數f（x）在x=1取得極小值．對照選項．
故選C．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．