Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分別是AB，PD的中點，
又∠PDA為45°
（1）求證：AF∥平面PEC
（2）求證：平面PEC⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）AF∥平面PEC?取PC中點G，AF∥GE?四邊形AEGF為平行四邊形?AE∥GF且AE=GF?AE∥CD∥GF，AE=GF=

1

2

CD
（2）平面PEC⊥平面PCD?EG⊥平面PCD?AF∥EG且AF⊥平面PCD?AF⊥PD且CD⊥AF?CD⊥平面PAD?CD⊥AD，CD⊥PA?PA⊥平面ABCD

解答：證明（1）取PC中點G，連接EG，FG，
∵F為PD的中點，∴GF∥CD且GF=

1

2

CD
∵ABCD是矩形，又E為AB中點，∴AE∥CD且AE=

1

2

CD，
∴AE∥GF且AE=GF∴四邊形AEGF為平行四邊形
∴AF∥GE，且AF?平面PEC，GE⊆平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵ABCD為矩形，∴CD⊥AD，又∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊆平面PAD，∴CD⊥AF，
∵∠PDA=45°∴F為Rt△PAD斜邊PD的中點，∴AF⊥PD，
又∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
由（1）知AF∥EG．∴EG⊥平面PCD，
又∵EG⊆平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．

點評：本題考查了線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理等知識點；注意線線平行，線面平行，面面平行的轉化，同樣注意線線垂直，線面垂直的轉化；找平行時運用了平行四邊形，中位線，找垂直時運用了矩形，三角形的高線，線面垂直的定義性質等．