Question

（09年臨沂高新區實驗中學質檢）（12分）

       函數y＝f（x）是定義域為R的奇函數，且對任意的x∈R,均有f（x＋4）＝f（x）成立，當x∈（0,2）時，f（x）＝－x²＋2x＋1．

       （1）當x∈[4k－2,4k＋2]（k∈Z）時，求函數f（x）的表達式；

       （2）求不等式f（x）>的解集．

Answer 1

解析：（1）當x＝0時，∵f（0）＝－f（0）,∴f（0）＝0．                    1分

當x∈[－2,0]時，－x∈（0,2）,

f（x）＝－f（－x）＝－（x2－2x＋1）＝x2＋2x－1．                      3分

由f（x＋4）＝f（x）,知f（x）為周期函數，且周期T＝4．      4分

當x∈[4k－2,4k]（k∈Z）時，x－4k∈[－2,0],

∴f（x）＝f（x－4k）＝（x－4k）²＋2（x－4k）－1．                           5分

當x∈（4k,4k＋2）（k∈Z）時，x－4k∈（0,2）,

∴f（x）∈f（x－4k）＝－（x－4k）²＋2（x－4k）＋1．                 6分

故當x∈[4k－2,4k＋2]（k∈Z）時，f（x）的表達式為

f（x）＝                             7分

（2）當x∈［－2，2］時，由f（x）>得或

解得1－                                                                      10分

∵f（x）是以4為周期的周期函數，

∴f（x）>的解集為|x|4k＋1－|．                           12分