Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，且點在橢圓上．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當點在橢圓的圖像上運動時，點在曲線上運動，求曲線的軌跡方程，并指出該曲線是什么圖形；

（3）過橢圓上異于其頂點的任意一點作曲線的兩條切線，切點分別為不在坐標軸上），若直線在軸，軸上的截距分別為試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2），曲線的圖形是一個以坐標原點為圓心、為半徑的圓 （3）是定值，

【解析】

（1）由得，再把點坐標代入又得一方程，聯立后可解得得橢圓方程；

（2）設，用表示，把代入橢圓方程可得曲線方程，由方程可判斷曲線形狀；

（3）由（1）知，設點，由坐標可得切線方程，代入點坐標于兩切線方程后觀察結論可得直線方程，求出，計算，利用在橢圓上可得．

（1）由題意得，所以

又點在橢圓上，所以解得

所以橢圓的標準方程為

（2）設，則，于是，

由于點在橢圓的圖像上，

所以 即

整理得，

所以曲線的軌跡方程為

曲線的圖形是一個以坐標原點為圓心，為半徑的圓.

（3）由（1）知，設點

則直線的方程為 ①

直線的方程為 ②

把點的坐標代入①②得

所以直線的方程為

令得令得

所以又點在橢圓上，

所以即為定值．