Question

如圖所示，已知P(4，0)是圓x²+y²=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.  

Answer 1

所求的軌跡方程是x²+y²=5

設AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 
又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理:在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0
因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動.
設Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因為R是PQ的中點，所以x₁=,
代入方程x²+y²－4x－10=0,得
－10=0
整理得: x²+y²=56,這就是所求的軌跡方程.