Question

已知函數f(x)=x3+sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，則下列正確說法的序號是

 

．
①f（0）=0；②f（x）是偶函數；③f（x）在[0，

π

2

]上單調遞減；④若f(x)≤f(

π

3

)，則x的取值范圍是-

π

2

≤x≤

π

3

．

Answer 1

分析：求出f（0）的值，判斷①的正誤；通過函數的奇偶性判斷②的正誤；利用函數的單調性判斷③f（x）在[0，

π

2

]上單調性；通過函數的單調性，推出不等式f(x)≤f(

π

3

)，x的取值范圍判斷④的正誤．

解答：解：∵函數f(x)=x3+sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，．
對于①，f（0）=0³+sin0=0，∴①正確；
對于②，∵f（-x）=f（x）=-x³-sinx=-f（x），函數是奇函數，∴②函數是偶函數的判斷不正確；
對于③，f(x)=x3+sinx，x∈[0，

π

2

]是增函數，∴f（x）在[0，

π

2

]上單調遞減，不正確；
對于④，若f(x)≤f(

π

3

)，即x3+sinx≤

π3

27

+

3

2

，∵函數f(x)=x3+sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]是增函數，
∴x的取值范圍是-

π

2

≤x≤

π

3

，判斷正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查函數的單調性函數的奇偶性，函數值的求法，命題的真假的判斷，基本知識的應用．