Question

【題目】若函數f（x）= x3﹣ ax2+（a﹣1）x+1在區間（2，3）內為減函數，在區間（5，+∞）為增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A.[3，4]
B.[5，7]
C.[4，6]
D.[7，8]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由f（x）= x3﹣ ax2+（a﹣1）x+1得f′（x）=x2﹣ax+a﹣1， 令f′（x）=0，解得x=1或x=a﹣1．
當a﹣1≤1，即a≤2時，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函數f（x）在（1，+∞）上為增函數，不合題意；
當a﹣1＞1，即a＞2時，f′（x）在（﹣∞，1）上大于0，函數f（x）在（﹣∞，1）上為增函數，
f′（x）在（1，a﹣1）內小于0，函數f（x）在（1，a﹣1）內為減函數，f′（x）在（a﹣1，+∞）內大于0，
函數f（x）在（a﹣1，+∞）上為增函數．
依題意應有：
當x∈（2，3）時，f′（x）＜0，
當x∈（5，+∞）時，f′（x）＞0．
∴3≤a﹣1≤5，解得4≤a≤6．
∴a的取值范圍是[4，6]．
故選：C．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．