Question

已知函數f(x)=ax³+x²+bx(其中常數a，b∈R)，g(x)=f(x)+f′(x)是奇函數，
(Ⅰ)求f(x)的表達式；
(Ⅱ)討論g(x)的單調性，并求g(x)在區間[1，2]上的最大值與最小值。

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意，得f′(x)=3ax²+2x+b，
因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax³+(3a+1)x²+(b+2)x+b，
因為函數g(x)是奇函數，所以g(-x)=-g(x)，
即對任意實數x，有a(-x)³+(3a+1)(-x)²+(b+2)(-x)+b=-[ax³+(3a+1)x²+(b+2)x+b]，
從而3a+1=0，b=0，
解得，b=0，
因此f(x)的解析表達式為。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
所以g′(x)=-x²+2，
令g′(x)=0，解得，
則當時，g′(x)＜0，從而g(x)在區間上是減函數；
當時，g′(x)＞0，從而g(x)在區間上是增函數；
由前面討論知，g(x)在區間[1，2]上的最大值與最小值只能在x=1，，2時取得，
而，
因此g(x)在區間[1，2]上的最大值為，最小值為。