Question

設函數f(x)=2cos2(

π

4

-x)+sin(2x+

π

3

)-1，x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數，即可求得函數的最小正周期；
（2）根據x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，由此可得函數的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2(

π

4

-x)+sin(2x+

π

3

)-1=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+cos(

π

2

-2x)=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x
=

3

sin(2x+

π

6

)
∴函數f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴

3

sin(2x+

π

6

)∈[-

3

2

，

3

]
∴當x∈[0，

π

2

]時，函數f（x）的值域是[-

3

2

，

3

]．

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．