Question

如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′中，CB⊥平面ABB′A′，點E是棱BC的中點，AB=BC=AA′
（I）求證直線CA′∥平面AB′E；
（II）求二面角C-A′B′-B的大小；
（III）求直線CA′與平面BB′C′C所成角的大小．

Answer 1

證明：（I）∵平面PAD⊥平面ABCD，AD為交線，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∵AE?平面PAD
∴AE⊥CD
又∵△PAD為正三角形，E為PD中點
∴AE⊥PD
∵PD∩DC=D
∴AE⊥平面PCD（5分）
解：（II）作PQ∥AB且PQ=AB，連QB、QC可得AD=BC=BQ=AP=DP=CQ
∴△PAD≌△QBC
∵CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，CD⊥PA
∴PQ⊥BQ，PQ⊥CQ
∴∠BQC是平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角
∵∠BQC=∠APD=60°
∴平面PAB與平面PDC所成二面角的大小為60°（10分）
（III）作BF⊥QC，則F為QC中點，連PF
∵
∴四邊形AEFB是平行四邊形，BF∥AE
∵AE⊥平面PDC
∴BF⊥平面PDC
∴∠BPF是BP與平面PDC所成的角
設PA=a，則，
則由直三角形PFB可得
∴
∴直線PB與平面PDC所成角的大小為（14分）
分析：（I）由直三棱的結構特征（側面與底面垂直）結合線面垂直的性質，可得CD⊥平面PAD，進而由線面垂直的性質可得AE⊥CD，再由正三角形三線合一，結合△PAD為正三角形，E為PD中點，可得AE⊥PD，結合線面垂直的判定定理可得直線CA′∥平面AB′E；
（II）作PQ∥AB且PQ=AB，連QB、QC，易證△PAD≌△QBC，結合（1）中CD⊥平面PAD和二面角的平面角的定義，可得∠BQC是平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角；
（III）作BF⊥QC，則F為QC中點，連PF，可得四邊形AEFB是平行四邊形，進而根據線面垂直的第二判定定理，結合AE⊥平面PDC證得BF⊥平面PDC，即∠BPF是BP與平面PDC所成的角，解三角形BPF，可得答案．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，其中（I）的關鍵，是熟練掌握線面垂直，線線垂直及面面垂直之間的轉化，（II）的關鍵是確定∠BQC是平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角，（III）的關鍵是確定∠BPF是BP與平面PDC所成的角．