Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若，求在處的切線方程；

（Ⅱ）若對任意均有恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據導數的幾何意義求得斜率后，利用點斜式即可得解；

（Ⅱ）先求導，根據、分類討論函數單調性，結合即可得解；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知當時，，轉化可得，進而可得，即可得證.

（Ⅰ）當時，，則，所以，

所以切線方程為即；

（Ⅱ）由題意，

令，則，，

當時，，在時恒成立；

當時，圖象的對稱軸為，由、可得在時恒成立；

所以當時，函數在上單調遞減，所以，符合題意；

當時，，，圖象的對稱軸，

所以存在，使得，

則當時，即，函數單調遞增，

此時，不合題意.

故所求實數的取值范圍為；

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，當時，函數在單調遞減，，

易知當時，即，

所以即，所以，

令，則，

所以，得證.