Question

若數列{a_n}滿足：a₁=m₁，a₂=m₂，a_n+2=pa_n+1+qa_n（p，q是常數），則稱數列{a_n}為二階線性遞推數列，且定義方程x²=px+q為數列{a_n}的特征方程，方程的根稱為特征根； 數列{a_n}的通項公式a_n均可用特征根求得：
①若方程x²=px+q有兩相異實根α，β，則數列通項可以寫成a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ，（其中c₁，c₂是待定常數）；
②若方程x²=px+q有兩相同實根α，則數列通項可以寫成a_n=（c₁+nc₂）αⁿ，（其中c₁，c₂是待定常數）；
再利用a₁=m₁，a₂=m₂，可求得c₁，c₂，進而求得a_n．根據上述結論求下列問題：
（1）當a₁=5，a₂=13，a_n+2=5a_n+1-6a_n（n∈N^*）時，求數列{a_n}的通項公式；
（2）當a₁=1，a₂=11，a_n+2=2a_n+1+3a_n+4（n∈N^*）時，求數列{a_n}的通項公式；
（3）當a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*）時，記S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_nC_nⁿ，若S_n能被數8整除，求所有滿足條件的正整數n的取值集合．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件求出a_n+2=5a_n+1-6a_n的特征方程為：x²-5x+6=0及其特征根x₁=2，x₂=3，利用待定系數法求出
c₁=c₂=1，進一步求出數列{a_n}的通項公式；
（2）先將已知條件變形為（a_n+2+1）=2（a_n+1+1）+3（a_n+1），設b_n=a_n+1，構造新數列{ b_n}，通過求特征方程的特征根求出數列{ b_n}的通項公式，進一步求出數列{a_n}的通項公式；
（3）先通過求特征方程的特征根的方法求出通項公式an=

1

5

[(

1+ 5

2

)n-(

1- 5

2

)n]，n∈N*，代入S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_nC_nⁿ，化簡得到 S_n+2=3S_n+1-S_n，通過不完全歸納找規律得到結論．

解答：解：（1）由a_n+2=5a_n+1-6a_n可知特征方程為：x²-5x+6=0，x₁=2，x₂=3…（3分）
所以 設 a_n=c₁•2ⁿ+c₂•3ⁿ，由

c1•2+c2•3=5 c1•4+c2•9=13

得到c₁=c₂=1，
所以   a_n=2ⁿ+3ⁿ； …（6分）
（2）由a_n+2=2a_n+1+3a_n+4可以得到（a_n+2+1）=2（a_n+1+1）+3（a_n+1）
設b_n=a_n+1，則上述等式可以化為：b_n+2=2b_n+1+3b_n…（8分）
b₁=a₁+1=2，b₂=a₂+1=12，所以b_n+2=2b_n+1+3b_n對應的特征方程為：x²-2x-3=0，x₁=-1，x₂=3…（10分）
所以令   b_n=c₁•3ⁿ+c₂•（-1）ⁿ，由b₁=2，b₂=12可以得出

c1= 7 6 c2= 3 2

所以bn=

7

6

•3n+

3

2

•(-1)n…（11分）
即  an=

7

6

•3n+

3

2

•(-1)n-1，n∈N*…（12分）
（3）同樣可以得到通項公式an=

1

5

[(

1+ 5

2

)n-(

1- 5

2

)n]，n∈N*…（14分）
所以S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+a₃C_n³+…+a_nC_nⁿ=

1

5

C

1 n

[(

1+ 5

2

)1-(

1- 5

2

)1]+

1

5

C

2 n

[(

1+ 5

2

)2-(

1- 5

2

)2]+

1

5

C

3 n

[(

1+ 5

2

)3-(

1- 5

2

)3]+…+

1

5

C

n n

[(

1+ 5

2

)n-(

1- 5

2

)n]=

1

5

[

C

1 n

(

1+ 5

2

)1+

C

2 n

(

1+ 5

2

)2+

C

3 n

(

1+ 5

2

)3+…+

C

n n

(

1+ 5

2

)n]-

1

5

[

C

1 n

(

1- 5

2

)1+

C

2 n

(

1- 5

2

)2+

C

3 n

(

1- 5

2

)3+…+

C

n n

(

1- 5

2

)n]=

1

5

[(1+

1+ 5

2

)n-(1+

1- 5

2

)n]=

1

5

[(

3+ 5

2

)n-(

3- 5

2

)n]
即     Sn=

1

5

[(

3+ 5

2

)n-(

3- 5

2

)n]，  n∈N*…（14分）Sn+2=

1

5

[(

3+ 5

2

)n+2-(

3- 5

2

)n+2]=

1

5

[(

3+ 5

2

)n+1-(

3- 5

2

)n+1]••[(

3+ 5

2

)+(

3- 5

2

)]-[(

3+ 5

2

)n-(

3- 5

2

)n]=3S_n+1-S_n
即   S_n+2=3S_n+1-S_n，n∈N^*…（16分）
因此S_n+2除以8的余數，完全由S_n+1，S_n除以8的余數確定，
因為a₁=1，a₂=1所以  S₁=C₁¹a₁=1，S₂=C₂¹a₁+C₂²a₂=3，S₃=3S₂-S₁=9-1=8，S₄=3S₃-S₂=24-3=21，S₅=3S₄-S₃=63-8=55，S₆=3S₅-S₄=165-21=144，S₇=3S₆-S₅=432-55=377，S₈=3S₇-S₆=1131-144=987，S₉=3S₈-S₇=2961-377=2584，
由以上計算及S_n+2=3S_n+1-S_n可知，數列{S_n}各項除以8的余數依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…，它是一個以6為周期的數列，從而S_n除以8的余數等價于n除以3的余數，所以n=3k，k∈N^*，
即所求集合為：{n|n=3k，k∈N^*}…（18分）

點評：本題考查通過題中的新定義求數列通項的方法，解決問題的關鍵是理解透題目中的新定義，在高考中場出現在小題中，本題屬于難題．