Question

對n∈N*，不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+2n

所表示的平面區域為D_n，D_n內的整點（橫坐標與縱坐標均為整數的點）按其到原點的距離從近到遠排成點列．（x₁，y₁）（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n）
（1）求x_n，y_n；
（2）數列{a_n}滿足a₁=x₁，且n≥2時an=

y

2 n

(

1

y 2 1

+

1

y 2 2

+…+

1

y 2 n-1

)．證明當n≥2時，

an+1

(n+1)

-

an

n2

=

1

n2

；

Answer 1

分析：（1）-nx+2n＞0⇒x＜2，x=1．故D_n內的整點都落在直線x=1上，且y≤n，故D_n內的整點按其到原點的距離從近到遠排成的點列為（1，1），（1，2），…，（1，n），故x_n=1，y_n=n．
（2）證明：當n≥2時，由an= yn2 (

1

y12

+

1

y22

+…+

1

yn-12

)，，得

an

yn2

=

1

y12

+

1

y22

 +…+

1

yn-12

，再由錯位相減法可知當n≥2時，

an+1

(n+1)

-

an

n2

=

1

n2

．

解答：解：（1）-nx+2n＞0⇒x＜2，∵x＞0，且x∈N^*，∴x=1．
故D_n內的整點都落在直線x=1上，且y≤n，
故D_n內的整點按其到原點的距離從近到遠排成的點列為（1，1），（1，2），…，（1，n），
∴x_n=1，y_n=n．

（2）證明：當n≥2時，
由an= yn2 (

1

y12

+

1

y22

+…+

1

yn-12

)，
得

an

yn2

=

1

y12

+

1

y22

 +…+

1

yn-12

，
即

an

n2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

(n-1)2

  …①
∴

an+1

(n+1)2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

  …②
②式減①式，得

an+1

(n+1)2

-

an

n2

=

1

n2

．

點評：本題考查數列和不等式的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，注意公式的靈活運用．