Question

已知數列{a_n}：滿足：a₁=3，a_n+1=，n∈N^*，記b_n=．
（I） 求證：數列{b_n}是等比數列；
（II） 若a_n≤t•4ⁿ對任意n∈N^*恒成立，求t的取值范圍；
（III）證明：a₁+a₂+…a_n＞2n+．

Answer 1

證明：（Ⅰ）由a_n+1=得，a_n+1-2=-2= ①，
a_n+1+1=+1=②（2分）
∴得：=•，即b_n+1=b_n，且b₁==，
∴數列{b_n}是首項為，公比為的等比數列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=•==
∴a_n=，
由a_n≤t•4ⁿ得t≥=（6分）
∵是關于n的減函數，
∴≤=，
∴t≥（9分）
（Ⅲ）∵a_n==2+＞2+，（11分）
∴a₁+a₂+…+a_n＞（2+）+（2+）+…（2+）
=2n+（++…+）
=2n+•=2n+1-＞2n+．得證（14分）
分析：（Ⅰ）要證數列{b_n}是等比數列，需求得b_n+1=，利用等比數列的定義即可證明；
（Ⅱ）由b_n==可求得a_n=，結合條件a_n≤t•4ⁿ即可求得t的取值范圍；
（Ⅲ）由a_n==2+＞2+，利用累加法即可證得結論．
點評：本題考查數列與不等式的綜合，著重考查等比關系的確定，恒成立問題的分析與應用，突出轉化思想與放縮法、累加法的考查，屬于難題．