Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C經過點A（4，0）和點B（6，2），且圓C總被直線x+2y-6=0平分其面積，過點P（0，2）且斜率為k的直線與圓C相交于不同的兩點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在常數k，使得向量

OM

+

ON

與

PC

共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據弦的垂直平分線經過圓心，以及圓C總被直線x+2y-6=0平分其面積即直線過圓心，聯立兩直線求出圓心，再求出半徑即可；
（Ⅱ）由直線y=kx+2與圓相交，得圓心C到直線的距離小于半徑，建立關系式，可求得k的取值范圍；
（Ⅲ） 設出M，N的坐標，用條件向量

OM

+

ON

與

PC

共線可得解得，由（Ⅱ）知，故沒有符合題意的常數k．

解答：解：（Ⅰ）AB的中垂線方程為y=x-4…（1分）   
聯立方程

y=x-4 x+2y-6=0

解得

x=6 y=0

即圓心坐標（6，0）…（1分）
半徑為（4，0）與（6，0）的距離即2
故圓的方程為（x-6）²+y²=4…（3分）
（Ⅱ）由直線y=kx+2與圓相交，得圓心C到直線的距離小于半徑
∴

|kx+2|

1+k2

＜2⇒-

3

4

＜k＜0…（7分）
（Ⅲ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

OM

+

ON

=(x1+x2，y1+y2)，

PC

=(6，-2)
因為

OM

+

ON

與

PC

共線，
所以6(y1+y2)+2(x1+x2)=0⇒(3k+1)(x1+x2)+12=0⇒k=-

3

4

由第（Ⅱ）問可知，直線不存在．

點評：本題考查直線和圓相交的性質，以及向量在幾何中的應用，如何應用條件向量

OM

+

ON

與

PC

共線，是解決問題的關鍵，屬于中檔題．