Question

已知定義在R上的二次函數R（x）=ax²+bx（a＞0）是偶函數，函數f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的單調區間；  
（II）當a≤1時，若x₀∈[1，2]，求f（x₀）的最大值；
（III）若二次函數R（x）圖象過（1，1）點，對于給定的函數f（x）圖象上的點A（x₁，y₁），當x₁=

1

e

時，探求函數f（x）圖象上是否存在點B（x₂，y₂）（x₂＞1），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數據：e=2.71828…）

Answer 1

分析：（I）根據二次函數的圖象和性質及偶函數的圖象關于Y軸對稱，可求出函數f（x）的解析式，進而利用導數法，可求出f（x）的單調區間；  
（II）由（I）中結論中函數f（x）的單調性，可得x=

a

a

是函數f（x）的極小值點，對a分類討論可得x₀∈[1，2]，求f（x₀）的最大值；
（III）由函數R（x）圖象過（1，1）點，可求出a值，確定函數f（x）的解析式，構造函數g（x）=f（x）-f（

1

e

），分析函數零點是否存在可得答案．

解答：解：（I）∵定義在R上的二次函數R（x）=ax²+bx（a＞0）是偶函數，
∴函數的對稱軸x=

b

2a

=0，即b=0，
∴R（x）=ax²，
∴f（x）=2lnx-ax²的定義域為（0，+∞）
∴f′（x）=

2(1-ax2)

x

，
令f′（x）＞0，則0＜x＜

a

a

令f′（x）＜0，則x＞

a

a

∴f（x）的單調遞增區間為（0，

a

a

），單調遞減區間為（

a

a

，+∞）
（II）由（1）得f（x）的單調遞增區間為（0，

a

a

），單調遞減區間為（

a

a

，+∞）
∴x=

a

a

是函數f（x）的極小值點
∵0＜a≤1
∴

a

a

≥1
當

a

a

≥2，即0＜a≤

1

4

，f（x）在區間[1，2]上遞增，則f（x₀）的最大值為f（2）=2ln2-4a
當1≤

a

a

＜2，即

1

4

＜a≤1，則f（x₀）的最大值為f（

a

a

）=-lna-1
（III）∵二次函數R（x）圖象過（1，1）點，則a=1
則f（x）=2lnx-x²（x＞0）
由（1）可知f（x）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為（1，+∞）
令g（x）=f（x）-f（

1

e

）=2lnx-x²-（-2-

1

e2

）
由題意可知g（x）在（1，+∞）上必存在零點
又由g（x）單調性與f（x）相同，故g（x）在（1，+∞）上單調遞減
g（1）=-1-（-2-

1

e2

）=1+

1

e2

＞0
g（e）=2-e²-（-2-

1

e2

）=4+

1

e2

-e²＜0
故存在點B使A、B連線平行于x軸

點評：本題考查的知識點是函數的單調性及單調區間，二次函數在閉區間上的最值，函數的零點，是函數圖象和性質的綜合應用，難度較大．