Question

【題目】【2018湖北七市（州）教研協作體3月高三聯考】已知橢圓： 的左頂點為，上頂點為，直線與直線垂直，垂足為點，且點是線段的中點．

（I）求橢圓的方程；

（II）如圖，若直線： 與橢圓交于， 兩點，點在橢圓上，且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．

【答案】（I）；（II）

【解析】試題分析：（1）根據題意可得， 故斜率為，由直線與直線垂直，可得，因為點是線段的中點，∴點的坐標是，

代入直線得，連立方程即可得， ；（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，設， ， ，∴ ，得，將點坐標代入橢圓方程得，

點到直線的距離為，利用弦長公式得EF，則平行四邊形的面積為

.

解析：（1）由題意知，橢圓的左頂點，上頂點，直線的斜率，

得，

因為點是線段的中點，∴點的坐標是，

由點在直線上，∴，且，

解得， ，

∴橢圓的方程為.

（2）設， ， ，

將代入消去并整理得 ，

則， ，

，

∵四邊形為平行四邊形，∴ ，

得，將點坐標代入橢圓方程得，

點到直線的距離為， ，

∴平行四邊形的面積為

.

故平行四邊形的面積為定值.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數， .

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）當時，求證：函數有兩個不相等的零點， ，且.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）討論函數單調區間即解導數大于零求得增區間，導數小于零求得減區間（2）函數有兩個不同的零點，先分析函數單調性得零點所在的區間， 在上單調遞增，在上單調遞減.∵， ， ，∴函數有兩個不同的零點，且一個在內，另一個在內.

不妨設， ，要證，即證， 在上是增函數，故，且，即證. 由，得 ，

令 ， ，得在上單調遞減，∴，且∴， ，∴，即∴，故得證

解析：（1）當時， ，得，

令，得或.

當時， ， ，所以，故在上單調遞減；

當時， ， ，所以，故在上單調遞增；

當時， ， ，所以，故在上單調遞減；

所以在， 上單調遞減，在上單調遞增.

（2）證明：由題意得，其中，

由得，由得，

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

∵， ， ，

∴函數有兩個不同的零點，且一個在內，另一個在內.

不妨設， ，

要證，即證，

因為，且在上是增函數，

所以，且，即證.

由，得 ，

令 ， ，

則 .

∵，∴， ，

∴時， ，即在上單調遞減，

∴，且∴， ，

∴，即∴，故得證.